APLIKASI BARISAN ARITMETIKA

Ardi bertugas mengirim surat ke Jalan Pari di perumahan “Pondok Asri”. Di ujung Jalan Pari, ia melihat bahwa nomor rumah di sisi kiri adalah 1, 3, 5, 7, dan seterusnya dan rumah di sisi kanan bernomor 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Sementara surat harus diantar ke rumah nomor 30.

Ada di sisi manakah rumah tersebut?
Pada urutan ke berapa rumah tersebut berada?
Permasalahan di atas merupakan salah satu contoh dari permasalahan barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
Apakah kalian masih ingat dengan barisan aritmetika?
Yuk kita ulang kembali.
Jika U₁, U₂, U₃, … , U_{n – 1}, U_n adalah suku-suku dalam suatu barisan bilangan sedemikian hinggaU₂ – U₁ = U₃ – U₂ = … = U_n – U_{n – 1} = b … (1), maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan aritmetika.
Selanjutnya, jika suku pertama adalah a, maka dari persamaan (1) kita peroleh hasil sebagai berikut:
Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U_n = a + (n – 1)b, dimana

• a adalah suku pertama
• b adalah selisih antara dua suku yang berdekatan
• n adalah banyak suku dalam barisan

Mari kita kembali pada masalah yang dihadapi oleh Ardi.
Jawaban dari pertanyaan pertama adalah rumah nomor 30 ada di sisi sebelah kanan Ardi. Hal ini dikarenakan 30 adalah bilangan genap dan rumah bernomor genap berada di sisi kanan.
Selanjutnya, karena nomor rumah di sisi kanan adalah 2, 4, 6, ,8 dan seterusnya , maka nomor rumah di sisi kanan membentuk barisan aritmetika dengan

• suku pertama adalah 2 → a = 2
• selisih antar suku adalah 2 → b = 2

Dengan demikian, untuk menentukan letak rumah bernomor 30, kita perlu mencari n dimanaU_n = 30.
Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumah nomor 30 terletak di sisi sebelah kanan Ardi dan berada pada urutan ke-15 dari tempat Ardi berada.

APLIKASI DERET ARITMETIKA

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah salah satu matematikawan yang terkenal di dunia. Deret Aritmetika tidak lepas dari cerita tentang Gauss kecil. Pada saat Gauss berusia sekitar 9 tahun, kejeniusannya di bidang matematika sudah terlihat jelas.
Guru di kelas Gauss tidak menyukai matematika dan ia juga tidak menyukai Gauss karena Gauss kecil sangat pandai. Pada hari itu, guru tersebut memberi tugas berikut kepada murid-muridnya: “hitunglah jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai 100”.
Semua murid mengerjakan tugas tersebut, tetapi Gauss hanya diam saja. Guru tersebut mengira Gauss tidak mengerjakan tugas yang ia berikan. Ternyata Gauss sudah mendapatkan jawabannya. Dalam waktu sekejap, Gauss kecil telah menyelesaikan soal tersebut dan hasil yang ia peroleh adalah 5.050.
Apakah kalian tahu bagaimana cara Gauss mengerjakan soal tersebut?
Yuk kita cermati penjelasan berikut.
Jika kita perhatikan uraian di atas, ada 50 pasang bilangan dengan nilai 101.
Dengan demikian, jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai 100 adalah 50(101) = 5.050.
Nah, dengan cara yang sama dengan yang dilakukan Gauss, dapatkah kalian menemukan rumus jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai n?
Mari kita cermati uraian berikut.
Pada uraian di atas, ada n2 pasang bilangan bernilai (n + 1).
Dengan demikian, 1 + 2 + 3 + … + n = n2(n + 1).
Jika kita perhatikan rumus jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai n di atas,

• 1 merupakan suku pertama
• n merupakan suku terakhir

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah
S_n = n2(a + U_n) = n2(2a + (n – 1)b).

Contoh:
Barry ingin menyumbang sejumlah uang ke panti asuhan. Bulan pertama ia menabung sebesar Rp50.000,00 dan setiap bulan besar tabungan bertambah sebesar Rp5.000,00 dari bulan sebelumnya. Ia ingin menyumbang sebesar Rp5.900.000,00. Tanpa memperhitungkan bunga dari bank, berapa bulan ia harus menabung?
Penyelesaian:
Oleh karena tabungan awal Barry adalah Rp50.000,00 dan pada setiap bulan besar tabungan Barry bertambah dengan jumlah konstan, yaitu sebesar Rp5.000,00 , maka permasalahan dalam soal merupakan permasalahan deret aritmetika, dimana
Selanjutnya, untuk menentukan waktu yang diperlukan oleh Barry untuk menabung hingga tabungannya berjumlah Rp5.900.000,00 , kita perlu menentukan nilai n yang memenuhi
S_n = 5.900.000,00.
Oleh karena lama menabung tidak pernah negatif, maka nilai n yang memenuhi adalah n = 40.

Dengan demikian, Barry harus menabung selama 40 bulan agar ia dapat mengumpulkan uang sebesar Rp5.900.000,00 dan menyumbangkannya ke panti asuhan.