Aplikasi Persamaan Trigonometri dalam Pemecahan Masalah

“Apa manfaat dari topik matematika yang saya pelajari?” Pertanyaan ini terkadang terlintas dalam pikiran kita. Sebagai induk dari segala ilmu, matematika menyokong kemajuan ilmu pengetahuan lain dan setiap aspek kehidupan manusia. Persamaan trigonometri sebagai bagian dari matematika berperan penting dalam bidang fisika, astronomi, penentuan lamanya siang dan malam di daerah tertentu, hasil penjualan barang, dan seterusnya. Mari telusuri penerapan persamaan trigonometri melalui topik kali ini.
Dalam topik sebelumnya kamu telah mempelajari persamaan trigonometri. Sebelum membahas penerapannya, ada baiknya kita ingat kembali tentang persamaan trigonometri.

Persamaan Trigonometri
• Apabila sin x = sin α, maka:
x = α + k. 360⁰ atau x = (180⁰ – α) + k. 360⁰ dengan k = 0, 1, 2, 3, …
Jika ukuran sudut menggunakan radian, maka:
x = α + k.2π atau x = (π – α) + k. 2 π dengan k = 0, 1, 2, 3, …
• Apabila cos x = cos α, maka:
x = α + k. 360⁰ atau x = (-α) + k. 360⁰ dengan k = 0, 1, 2, 3, …
Apabila ukuran sudut menggunakan radian, maka:
x = α + k.2π atau x = (- α) + k. 2 π dengan k = 0, 1, 2, 3, …
• Apabila tan x = tan α, maka:
x = α + k.180 dengan k = 0, 1, 2, 3, …
Apabila ukuran sudut menggunakan radian, maka:
x = α + k.π dengan k = 0, 1, 2, 3, …

Mari pelajari ulang cara menentukan himpunan persamaan trigonometri melalui contoh berikut.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:
sin 2x = 123√ untuk 0 ≤ x ≤ 2π
Penyelesaian:
Setelah mengingat sejenak tentang himpunan penyelesaian persamaan trigonometri, mari kita lanjutkan dengan membahas penerapan persamaan trigonometri.

Apakah kamu tahu perbedaan antara aplikasi perbandingan trigonometri dan persamaan trigonometri? Dalam aplikasi perbandingan trigonometri, biasanya yang ditentukan adalah jarak atau tinggi dengan besar sudut misal nilai x pada sin x, cos x, tan x, dan seterusnya yang sudah diketahui. Contohnya adalah penentuan jarak antara dua benda, tinggi tiang bendera, tinggi pohon atau tinggi menara. Sebaliknya, pada aplikasi persamaan trigonometri, kita justru diminta menentukan besar sudut x yang terdapat dalam perbandingan trigonometri. Seringkali besar sudut yang memenuhi tidaklah tunggal.
Mari simak beberapa contoh penerapan persamaan trigonometri berikut.

Contoh 1

Arus listrik yang dihasilkan oleh sebuah generator AC didefinisikan dengan I = 30 sin 120πtdengan t adalah waktu dalam detik dan I merupakan kuat arus dalam ampere. Tentukan kapan saja (t positif) yang dapat menghasilkan kuat arus I = 25 ampere.
Penyelesaian:
Diketahui:
persamaan trigonometri I = 30 sin 120πt
t = waktu (dalam detik)
I = 25 ampere
Nilai t saat kuat arus listrik 25 ampere ditentukan sebagai berikut.
Ini berarti nilai t positif yang memenuhi adalah 0,0026; 0,0057; 0,0193; 0,0224; 0,036; 0,0391; 0,0527; 0,0558 dan seterusnya.
Jadi, pada saat 0,0026 detik, 0,0057 detik, 0,0193 detik dan seterusnya, kuat arus yang dihasilkan sebesar 25 ampere.

Contoh 2

Persamaan y = -10 cos 3t mewakili gerak sebuah benda yang bergantung pada sebuah pegas. Setelah ditarik sejauh 10 cm di bawah titik kesetimbangan, kemudian pegas tersebut dilepaskan (hambatan gerak di udara diabaikan). Nilai y menentukan posisi benda dalam cm di atas titik kesetimbangan (y positif) dan berada di bawah titik kesetimbangan (y negatif) setelah t detik dengan 0 ≤ t ≤ 2π. Tentukan kapan benda akan mencapai puncak (titik tertinggi di atas titik kesetimbangan).
Penyelesaian:
Diketahui:
persamaan trigonometri y = -10 cos 3t
Benda akan mencapai puncak pada saat nilai cos 3t mencapai minimum atau bernilai -1, sehingga diperoleh persamaan trigonometri sebagai berikut:
Oleh karena 0 ≤ t ≤ 2π, maka nilai t yang memenuhi adalah:
Jadi, benda akan mencapai puncak pada saat:

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan di atas? Untuk melatih kemampuanmu, kerjakanlah soal-soal quiz berikut dengan penuh semangat. Selamat bekerja.